さて今年も、朝刊に、平成26年度の神奈川県の公立高校入試問題が入っていたので、
解いてみました。
今年は雪が降っていたため、朝刊が届くの遅い＆寝てないという悪条件が重なり、
自己最低記録となりました。（言い訳）
去年と同じく、記述問題が２問あります。
個人的な感想ですが、これは…全体的には、皆さん、時間が足りないのではないか？と
思いました。
去年より、多少詳しく解説します。
問１：計算するだけ。簡単だと思います。
問２：(エ)は、「対称式」と呼ばれているもので、x + y = 2√6、x*y = 2 を先に計算して
おきます。
そして、x^2*y + x*y^2 = xy(x + y) と因数分解して代入すれば、
4√6 と出ます。
(キ)は、上の図のように角度を求めれば、x = 50°- 21°=
29°と出ます。
(ク)は…。これは、解き方がすぐに思いつかなかったら、後回しにすべき問題だと
思います。
DAを延長し、CFも延長して、できた交点をHとすると、△HAFと△HDAは相似で、
相似比は1:2です。よってHAは7cm。
次に、△HAGと△CEGも相似で、相似比は7:1なので、AG:(6 - AG) = 7:1 となり、
これを解くと、
21/4 となります。
問３：(ア)は、点Dの座標を求めれば出せます。まず、y = x^2 の各座標を求めます。
AE:ED = 4:3 より、
D(2, -3) となるので、これを y = a*x^2 に代入して a を求めると、
a = -3/4 と
出ます。
(イ)は、F(0, -3)、E(2, 0) の２点を通る直線なので、傾きは 3/2、切片は -3 より、
y = 3/2*x - 3 と出せます。
(ウ)は、ここでは「等積変形」を用いるのが定石でしょう。△ABCと△ABGは、
辺ABを共有しているので、辺ABに平行で、点Cを通る直線上に点Gがあれば、
互いの面積は等しくなります。
直線ABの傾きは、計算すると 3 になるので、これと同じ傾きの直線が、
点C(-2, 4)を通ればいいわけです。
y = 3x + b の x, y にこの座標を代入して b を求めると、y = 3x + 10 となります。
後は、y = 0 のときの x が求める点Gのx座標となり、それは -10/3 となります。
よって、
G(-10/3, 0)。
問４：この手のさいころを２つ振る問題は、６ｘ６のマトリクスを描いて、そこに値を
書き込むのが定石ですが、この問題に限って言うと、それでは時間がかかって
しまうので、止めるべきでしょう。
(ア)は、２つのさいころの目を足すと、2～12 までの値になるので、該当する
「５の倍数」は、5 と 10 になります。それぞれ、(4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4) と
(6, 4), (5, 5), (4, 6) があるので、合計７通り。よって答えは
7/36。
(イ)は、210 を素因数分解すると、2*3*5*7 と、何だか素数を並べたような作為的な
数字が出てきます。これを組み合わせて 11～66 までの数を作ると、
(2, 3, 5), (2, 3, 7), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (5, 7) の組み合わせが考えられます。
しかし！
(2, 3, 5) は、30 となるので、１の位が０になってしまい、さいころ的に
ありえません。なので、これを除くと、答えは
5/36。
(ウ)は、111 = 3*37 と、これまた作為的な数字が出てきます。よって
ルートの中は、3*(37 - n) となります。これの (37 - n) が、
3*1^2 = 3 、3*2^2 = 12 、3*3^2 = 27 、3*4^2 = 48 … となればいいわけ
ですが、さいころの目からして、36より大きい数の 48 以降はありえないので、
合計３つということになり、答えは 3/36 =
1/12。
（n は計算しないように。時間の無駄です）
問５：これは、書くのに時間がかかります。それと、問題の文章から式を立てるのが苦手な
人には、解けない問題だと思います。しかし内容は、単なる連立方程式です。
Ａさんが、家からＣ商店まで上昇するのに x/50 分、Ｃ商店からＢさんの家まで
下降するのに y/60 分、勉強したのが 60 分、Ｂさんの家からＣ商店まで上昇したのが
y/50 分、Ｃ商店で 5 分、そして、再びＣ商店からＢさんの家まで下降するのに
y/60 分かかっています。
８時から９時39分までは、１時間39分 = 99 分。
つまり、
x/50 + y/60 + 60 + y/50 + 5 + y/60 = 99 …(1)
変形すると、
x/50 + y/30 + y/50 = 34, 3*x + 5*y + 3*y = 34*150,
3*x + 8*y = 5100 …(2)
一方、距離で言うと、x + y = 1200 …(3)
なので、(2) と (3) を連立方程式で解くと、
x = 900,
y = 300 メートルと出ます。
問６：(ア)は、計算するだけです。
(イ)は、上の展開図のように考えると、EH^2 = 1、BH^2 = 9 となるので、
BE = √10。
(ウ)は、△AGFが、上の図のような二等辺三角形になることを考えると、
AI^2 = 5 - 1/2 = 9/2、
AI = 3/√2 となるので、△AGFの面積は、√2*3/√2/2 = 3/2 となります。
ここで、AFを底辺と見ると、√5xGP/2 = △AGF = 3/2 なので、
GP = 3/√5 =
3√5/5。
問７：公表された答えとは異なっていましたが、合っているはずです。
まず、∠COAの二等分線を引き、それと弧ACが交わる点を、H とします。
円周角の性質と仮定から、∠DOA = ∠HOA = ∠COH = ∠CBA …(1)
弧CAに対する円周角なので、∠CBA = ∠CDA …(2)
△OBCは二等辺三角形なので、∠CBA = ∠OCB …(3)
△OCDも二等辺三角形なので、∠OCD = ∠ODC …(4)
∠ODA = ∠ODC + ∠ODC …(5)
∠BCA = ∠OCB + ∠OCD …(6)
(3)、(4) から (5)、(6) は、∠ODA = ∠BCA …(7)
(1)、(2)、(7) より、対応する２つの角が等しいので、△OAD ∽ △BCE。
※弧DBに対する円周角から、∠OAD = ∠BCE とやったほうが速い。これが、
公表された答えです。
ちなみに僕は、解くのに50分では足りませんでした。結果は
74点。
今まで解いた中で、
最低の得点率でした。
問５の立式にケアレスミスがあり、それだけで10点全て落としてしまいました。
その他、確率の問題を読み間違えていたりと、散々でした。
睡眠はよく取りましょう。
