PascalChanのブログ

朝刊に、平成25年度の、神奈川県の公立高校入試問題が入っていたので、早速解いてみました。

いつもと違うのは、完全証明が２問もあることです。
採点基準も厳しく、「対頂角」とか「錯角」とか理由を書かないと、減点されるようです。

ざっと解説。

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問１：計算するだけ。簡単だと思います。


問２：(カ)は、座標間の２点間の距離を求める問題で、これは新傾向でしょうかね。

　(ク)は、BC間に線を引くと、△ACBは直角三角形になるので、それを利用して∠ABCを求め、後は円周角で∠ADCに移動させるだけです。


問３：これも新傾向で、反比例のグラフが出てきています。

　でも、反比例のグラフは座標を求める目的以外には使わないので、基本がわかっていれば問題ないでしょう。

　(ウ)は、ADを通る１次関数の式と、BDを通る１次関数の式を正しく求める必要があります。△DBAの面積は 15/2 で、△DFEの面積は 27/10 と出るようです。


問４：(ウ)ができなかったorz...

　これは、座標で言うと、(4, 1), (3, 2), (1, 2) が、線分BCを直径とする円周角上の点になり、(5, 1), (6, 3) がCを直角にするような座標、(1, 3), (2, 5) が、Bを直角にするような座標で、合計7個あるようです。それで、答えは 7/36。


問５：証明問題です。問題自体は教科書レベルで、簡単だと思います。


問６：(イ)は、△ACEを描き、E、FからそれぞれACに垂線を下ろします。

その点をそれぞれG, Hとすると、三平方の定理でEGを求め、△AHF∽△AGEで、相似比が1:3であることからAH=√2、FH=2となり、CH=5√2となります。後は三平方の定理。

　(ウ)は、展開図を描いて、AからDへ線を引きます。これは常道ですが、この先が(？)となってしまうかも知れません。△ABG∽△EABがわかるかどうかが、解ける鍵になってくるでしょう。(∠AGBと∠EGDは対頂角)


問５：証明問題です。問題自体は教科書レ（以下略

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ちなみに僕は、ちょうど50分かかって、結果は88点でした。

見直しなしだったので、ケアレスミスがそのまま出ました。まあこんなものでしょう。
見直せば96点は行ったと思います。(負け惜しみ)


追伸：愛永ちゃんが志望校に合格しますように。

ああ、予想通り、しばらく更新していなかったですねぇ。


ところで、以前こんなのを見ました。

1：以下、名無しにかわりましてVIPがお送りします：2012/11/09(金) 14:25:05.82 ID:m2CFPu340
正20面体の各面を赤、青、黄のいずれかで塗っていくとき、何通りの塗り方が存在するか。

http://netaatoz.jp/archives/7565108.html
googleの入社試験問題です

というものでした。


Googleの試験問題と言うので、計算した後に早速ググってみたところ、

「58,130,055通り」

という答えが出てきました。が、これは、僕が計算して出した答えと違います。
ちなみにGoogleの（？）答えは、素直に

「3^20通り（正20面体の場合は3^20/20通り）」

http://www.thegooglestory.com/glatpage2.html

のようです。一体どれなんだ…。少なくとも、3^20/20は整数じゃないし…。


なので、その自分で出した「別解」を書くというのが今日のネタです。

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　まず始めに、正20面体の一つの面に、3色で色を塗るのは3通り。で、これが他に19面あるのだから、（重複を考えない）全ての組み合わせは、3を20回掛ければよく、

3^20

通りです。

次に、重複を考えてみます。今、正20面体を水平なところに置いたとき、一番上の面と一番下の面

正20面体は、向かい合う反平行な正三角形1組が、
10個集まってできている

が、重複している場合があります。これの一番簡単な例は、

1) 一番上の面と一番下の面：赤と青
　その他の面：黄

2) 一番上の面と一番下の面：青と赤
　その他の面：黄

でしょう。この二つは、ひっくり返しても同じなので、明らかに重複しています。

「『その他の面』が、いろいろ複雑に塗ってあるときはどうするの？」

…たしかに、これを考えるのが一番難しいわけですが、ここは思い切って、


という、本当はそれ自体証明が必要そうな仮定が成り立っているとしましょう。まあ、そういうものということで。

すると、上面と下面の組み合わせは、

(上, 下) = (赤, 赤), (青, 青), (黄, 黄),
　　　　　(赤, 青), (青, 赤),
　　　　　(赤, 黄), (黄, 赤),
　　　　　(青, 黄), (黄, 青)

の、9通りあることになりますが、このうち2、3、4行目は、重複しているので、その分は消さなければなりません。そうすると、

(面, 向かいの面) = (赤, 赤), (青, 青), (黄, 黄),
　　　　　　　　　(赤, 青),
　　　　　　　　　(赤, 黄),
　　　　　　　　　(青, 黄)

の、6通りに減ります。つまり、1組の面に関して、重複を考慮すると、組み合わせは6/9=2/3に減ることになります。

この考え方では、「その他の面」がどうなっているのかは無関係で、全然気にしなくていいことになるので、他の9組の面の組み合わせについても、全く同じことが言えるはずです。つまり、組み合わせは、重複を考慮していない場合とは、比で

(2/3)^10

だけ、減ることになります。よって、求める組み合わせは、

3^20 * (2/3)^10 = 3^10 * 2^10 = 6^10 = 60,466,176通り

となります。


というわけで、自分で考えたら、「58,130,055通り」より4％ほど多い答えが出た、という話でした。